作者: ll35566 (深愛小惠子的東健哥) 看板: Gossiping
標題: Re: [問卦] 有沒有黃金分割的八卦?
時間: Wed Jun 20 01:36:45 2012
※ 引述《lovebanana01 (香蕉哥)》之銘言：
: 不是解師傅的黃金分割燒賣
: 是達文西黃金分割
: 就是大家所熟知的 1.1.2.3.5.8.13.......
: 又稱作費氏數列
: 有沒有神麼八卦?
疑?
一眼看上去 費氏數列跟黃金分割的關係好像不是很明顯
到底關係在哪邊呢?
我們先從黃金分割開始
如果我們有一個線段
我們將他切成大段A跟小段B
其中 原長跟A的比 如果跟A和B的比一樣的話 我們叫他作黃金分割
├───────────────┼─────────┤
╰───────────────╯╰────────╯
A B
A+B A
----- = -----
A B
然後移項 解二次方程=>
2 2
A -AB-B =0
1
A=---(1±√5)B 去掉負根
2
所以
A 1
--- = ---(1+√5) ~1.618 而這就是我們說的黃金比例
B 2
==========================================================
費氏數列 1,1,2,3,5,8,13,...
其中任意兩項是前兩項的和
我們可以寫成遞迴式 A =A +A
n+2 n+1 n
如果寫成矩陣的樣子 我們可以更方便的去分析
把他寫成一個二階矩陣
[A ] [ 1 1 ][ A ]
[ n+1] [ ][ n ]
[ ] = [ ][ ]
[A ] [ 1 0 ][A ]
[ n ] [ ][ n-1]
為了方便 我們定義A =0 A =1 A =1 A =2 .....
0 1 2 3
然後 可以發現
n
[A ] [ 1 1 ] [ A ]
[ n+1] [ ] [ 1 ]
[ ] = [ ] [ ]
[A ] [ 1 0 ] [ A ]
[ n ] [ ] [ 0 ]
╰────╯
B
現在我們來看看這一個矩陣B
我們對這矩陣作分解 把它分解成像這樣的形式
-1
B=U X U
其中X是一個對角矩陣 也就是 他只有對角線有元素
這將會帶給我們一個好處
n -1 -1 -1 -1
你可以得到B =U X U U X U U X U ...U X U
^^^^ ^^^^ ^ ^^
=I =I =I =I
-1 n -1
=UXX...XU =UX U
先對B求特徵值
|1-λ 1| 2
| |=0 => λ -λ-1=0
|1 -λ|
=> 1 1 1
λ=---(1±√5) 令λ =---(1+√5) λ =---(1-√5)
2 1 2 2 2
[1 1] [λ λ ][λ 0 ][ 1 -λ ]
[ ] [ 1 2 ][ 1 ][ 2 ] 1
[ ] = [ ][ λ ][ λ ]----
[1 0] [ 1 1 ][ 0 2 ][-1 1 ]√5
n次方後
n n
[1 1] [λ λ ][λ 0 ] [ 1 -λ ]
[ ] [ 1 2 ][ 1 ] [ 2 ] 1
[ ] = [ ][ λ ] [ λ ]----
[1 0] [ 1 1 ][ 0 2 ] [-1 1 ]√5
然後
n
[A ] [ 1 1 ] [ 1 ]
[ n+1] [ ] [ ]
[ ] = [ ] [ ]
[A ] [ 1 0 ] [ 0 ]
[ n ] [ ] [ ]
n
1 [λ λ ][λ 0 ] [ 1 -λ ][1]
=--- [ 1 2 ][ 1 ] [ 2 ][ ]
√5 [ ][ λ ] [ λ ][ ]
[ 1 1 ][ 0 2 ] [-1 1 ][0]
n
1 [λ λ ][λ 0 ] [ 1 ]
=--- [ 1 2 ][ 1 n ] [ ]
√5 [ ][ λ ] [ ]
[ 1 1 ][ 0 2 ] [-1 ]
n
1 [λ λ ][λ ]
=--- [ 1 2 ][ 1 ]
√5 [ ][ n ]
[ 1 1 ][-λ ]
[ ][ 2 ]
n+1 n+1
[λ -λ ]
1 [ 1 2]
= --- [ n n]
√5 [λ -λ ]
[ 1 2]
1 n n 1 1 n 1 2
=>A = ---[(λ -λ )]=---{[---(1+√5)]- [---(1-√5)] }
n √5 1 2 √5 2 2
在n很大的時候
因為 |λ|>|λ |
1 2
所以 A
n+1
----- 會趨近於 λ 也就是黃金比例
A 1
n
--
推 changatcmu:大支懶真奇妙~~~ 08/01 17:11
→ v7q4: 就看你有沒有住陰道 08/01 17:11
→ Timcanpy:潮是怎麼吹~ 08/01 17:12
→ MyFuns: 尿為什麼飄 08/01 17:13
推 beaune: 苞~~為什麼開~~ 08/01 17:14
推 hchs31705: 乳~是怎麼搖 08/01 17:14
--
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→ homerunball:END 06/20 01:37
→ killla:恩...我想睡了! 謝謝你! 06/20 01:37
推 hrs113355:恩 我也是這樣想 06/20 01:37
推 shrimproll:跟我想的一樣 06/20 01:37
→ les5277:就很神啊這真的是種定律 06/20 01:37
推 chikan:這啥小 06/20 01:37
推 YU0158:這一篇文章值 302 Ptt幣 06/20 01:37
→ jan1997:我有睡意了...感謝!! 06/20 01:38
推 busters0:對啊 06/20 01:38
推 bribe8911:八卦是英國的麥田圈都符合黃金比例 06/20 01:38
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推 ray60110:謝謝助眠 06/20 01:39
推 mmes:黃金 06/20 01:39
推 Alcor:我本來想發的= = 算了睡覺去 06/20 01:39
推 marstinlai:END了.. 06/20 01:39
→ syura945:http://ppt.cc/pLYm 黃金比例 淺顯易懂 06/20 01:40
推 friendever:不用這麼麻煩吧，用遞迴關係的一般解法就可以了啊 06/20 01:40
我喜歡麻煩的作法(其實也沒有很麻煩 打字比較麻煩)
→ OmegaWind:謝謝你 晚安 06/20 01:40
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推 tmsz:看你打得這麼辛苦 幫你推一下好了ZZZZZZZZZ 06/20 01:40
推 CoolTwo:我本來也要發的 但...那就你先吧~ 06/20 01:40
推 urdie:這是東健哥人格 06/20 01:40
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→ friendever:an=an-1+an-2 => r^2-r-1=0 解得r跟黃金比例相同 06/20 01:41
推 secret1414:東健哥 早點睡 蜜蜜子先睡惹 06/20 01:41
推 Skydier:為什麼你畫圖都可以這麼快啊? 06/20 01:41
推 s0857168:跟我想的一樣 06/20 01:42
推 getlonely:交大果然強大！！！！！！！！！！ 06/20 01:42
推 abian:謝謝你 有睡意了 06/20 01:42
→ Atwo:畫圖超強大的 06/20 01:43
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→ itsforte:線代誰教的 有點弱,,,, 06/20 01:43
我比較會幾何 線代都忘光了Q.Q
推 qazedc:█▇▆▅▄▃▂ 給我把下惠子交出來 ▁▂▃▅▆█▇▅▂▁ 06/20 01:44
推 shawty:恩恩 同感 06/20 01:44
推 cka:你害我睏了 06/20 01:44
推 hokksapp:我看不懂 06/20 01:44
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推 niutse:高中證過 滿奇妙的 06/20 01:44
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噓 taker627:說好的廢文 06/20 01:45
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推 lonelynight:下惠子好強喔!!! 06/20 01:46
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小惠子要睡了喔!
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